贝叶辛大脑 - 一个有用的公式

贝叶辛概率推理虽是一门迥异于常规概率学的理论，却是我们大脑的潜在自然思维方式。



不尽客观精确的本底意识

对一件你有所了解的事物，关于其今后将如何发生，你会有一个本底意识，譬如人群里有某疾病存在，你会否也患上该病；譬如电车已在市场占有一定比例，会否10年后基本驱逐燃油车；譬如本地历史上有多次地震的记录，最近会否发生地震。重申 - 往下提到本底意识，都只狭义地关于事物的发生，不涉及事物的其他方面。

本底意识并不时时占据你的大脑，通常是当某事物引起了你的关注，本底意识才浮现出来。之所以称为本底，就是当前该事物引起你关注后，你尚没有专门为此去获取新的认知。

本底意识来自于方方面面：

× 自己的相关经历（譬如人群里另一些病你也患过）

× 听闻来的相关知识（譬如本地处于两大地质板块的分裂带上）

× 对相关因子的了解（譬如电车电池技术突破，政府电车补贴）

说上面这些时，已经意味着两点， (1) 本底意识带有学习递进的性质，最原初，对一件复杂事物你不会有任何本底意识，除非有第六感。(2) 本底意识不是完全客观的，可能因人而异，你获取知识的渠道和容量，分析综合能力，事物与你的相关程度，甚至你对事物的好恶，及至世界观价值观这样的主观因素，都会影响你的本底意识。

获取最新证据校正本底意识

本底意识支持你对事物的判断和预测，但现实里，如果你是一个理智的人，一旦某事物引起你做预测的欲望，你总会对其做些更深入的了解，获取一些更近期的资讯，譬如对疾病做个医学检测，了解一下政府电车补贴的最新政策，收集一下专家对本地地震更全面的分析。另外，你也不会将预测绝对化，除非你获得了确凿无比的证据，或者只是和人打赌，你会用有转寰余地的判断性语言来表达你的预测，这不是狡猾或不自信，而是理性承认我们的认知是有限的。

当你更新了对所关注事物的认知后，也许你更坚信你本来的判断，也许会对本来的判断做较大调整，哦，患这个病的风险比本来想的要大，电车市场按过去那样强劲势头发展的前景很不明朗，两年内本地发生强震具有现实可能性。

我们大脑的另类贝叶辛表达

这样一个在本底意识上通过获取新知识来更新判断的过程，其实就是贝叶辛Bayesian 过程，在我们的日常生活规划或关键决策中都是常见的，也许因为我们的大脑天然是贝叶辛的。下面将用稍微数学化一点的语言来进一步展示。

上面的过程用公式来表示：

更新认知后的判断 J(后）= 基于新认知的校正因子 A × 基于本底意识的判断 J(前）【1】

前面我们同意用可能性语言来表述我们的判断，在数学上就是概率。如果将某事物的发生记为S, 新认知基于的证据记为E，于是公式【1】有两种概率性表达：

其一

P(S/E) = A1 × P(S) 【2】

上面P(S)为基于本底意识判断出的事物发生概率， P(S/E)为结合进新证据E后判断出的事物发生概率。

其二

R(S/E) = A2 × R(S) 【3】

其中R不是发生概率，而是发生概率与不发生(记作 !S)概率之比：

R(S) = P(S) ÷ P(!S) = P(S) ÷ (1 - P(S)) 【3】

R(S/E) = P(S/E) ÷ P(!S/E) = P(S) ÷ (1 - P(S/E) )【4】

暂且搁下第一表达(【2】)不表，先看一下第二表达(【3】)，为何要用发生和不发生概率的比率？如【3】【4】所示，发生概率和不发生概率是完全反演互补的，40％可能性发生等于60％可能性不发生，两者等价，知其一必知其二，何必多此一举？

这在认知上有两个好处，第一，譬如地震，发生往往有发生的证据支持，而不发生也往往有不发生的证据支持，放弃考虑任何一方都是不明智的。第二，R=P/(1-P)是关于P的一个非线性变量，当 P很小， R对P的变化不敏感，当P 增大, R将随P 的小幅增加越来越急剧增加, 这有助增强风险所系的大概率区域的变化辨识度，纠正人们的低敏高疑的心理误差。

既然第二表达用概率比率，校正因子A2也应如此

A2 = P(E/S）÷ P(E/!S） 【5】

P(E/S)是如果事物最终真的发生了，这前提下证据出现的概率，体现了证据的准确率； 反之，P(E/!S)是如果事物最终没有发生前提下，证据出现的概率，代表了证据的误判率。这是证据的两个完全不同的特性，考虑证据时缺一不可。

Bingo! 我们就得到了大名鼎鼎的贝叶辛公式，切慢，的一个另类表达：



这不是贝叶辛公式的常规表达，但懂些条件概率的马上可从上面的公式推演出贝叶辛定理的常见形式：

   

 眼尖的会立马指出，这不就是上面的第一表达吗(【2】)，简洁多了，为何舍简求繁搞个第二表达？

没错，看起来【7】是比【6】简洁，问题是【6】中的P(E), 新证据发生的概率，是无法直接知道的，除非你又搞个关于证据的本底意识，但它的不可靠性和事物本身的本底意识没啥两样。

最后提一下，基于本底意识判断出的概率在贝叶辛定理里称为先验概率Prior ，根据新证据校正后的概率称为后验概率Posterior 。

一个不具实用的例子

公式【6】是个极其有用的帮助对日常事物进行判断和决策的工具，举个例子。

关于某疾病，人群的发病率根据医学记录是1/1000，平均1000人有一人患上，没患的就是999/1000，这是本底或先验，R(S) = 1/999, 我们每个人都包括其中。由于担忧某些健康状况,你去做了一个关于该病的医学检测，该检测的准确率是93％，误判率是3％，就是说100个真真患者有93个会被正确检出，但100个健康者会有3个被误检为有病，你的检查结果是阳性的，这是新证据, A2 = 93 / 3 = 31。因而，你的R(S/E) = 32/999。比起本底，你的风险提高了近33倍，应该警惕了，但仅凭一次检测还不至于太过大惊小怪，毕竟患病概率和不患病概率之比还只在大约3％。如果你去做了第二次检测结果也是阳性，那情况就很不同了，此时第一次的R(S/E)，32/999，成了本底，第二次的R(S/E) = 32 × 32/999 = 1.025，患病的概率刚刚高过不患病的概率。注意：这是个极度简化的贝叶辛概率的例子，绝不能用做任何医学参考。