《数学趣谈》问世已经快百日了，它见过的人还远远没有达到这个数字；真实的数字说出来就太叫人脸红了。
《数学趣谈》是一本科普书籍，由数学家的故事和有趣的数学问题组合而成。数学家的故事自然是些故事，没什么特别可说的。有趣的数学问题却真的有些趣味。这里简单说说其中的三章：不完备性定理，一道有趣的逻辑题和找怪球问题。
1 先说说找怪球问题。
一般的n球问题是指下面的问题：有n 个外表一模一样的球，其中有一个球是怪球，它和其它的 正常球重量不同。现在只有一个天平可用，请问至少要用多少次天平才可把怪球找出来，并告知它比正常球是轻还是重？
当n=12时，就是著名的12球问题，它的表述如下：有12个外表一模一样的球，其中有一个怪球重量不同于其他11个正常球。只允许使用三次天平，如何找出怪球并弄清轻重？
在给出12球问题解答之前，我们先定义带信息的球。我们的球有灰白黑绿四种颜色，它们的具体含义是：绿色代表正常球，白色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球则它比正常球轻，黑色球表示它可能是正常球也可能是怪球，但如知道它是怪球则它比正常球重。换句话说，白色黑色球含有部份信息，如果知道它是怪球，就知道它是轻还是重了。灰色球则没有任何信息，即便我们知道它是怪球，它是轻是重还得进一步确定。
一开始12个球都是灰色球。
各取4球分别放在天平的两侧。分两种情况分析。
第一种情况，两边相等，8个球均是正常球，涂上绿色，还剩4个灰色球。取3个绿色球放天平一侧，3个灰色球放另一边。如两边相等，将3个灰色球涂上绿色，剩下一个灰色球（和一个绿色球）再称一次便知轻重了。如两边不等，给3个灰球涂上颜色：灰球重则涂黑，轻则涂白。剩下的灰球是是正常球，涂绿。最后三个白球或者黑球，再称一次可找到坏球。如坏球为白则轻，为黑则重，无需再称了。以白球为例，天平两边各放一个白球，如两边想等则为正常球，都涂绿，最后的白球是怪球并且较轻；如两边不等则轻的为怪，其它的白球涂绿。
第二种情况，两边不等，未称的4个灰球为正常球，涂上绿色。剩下的8个球，分别涂上白色黑色：重的那边为黑，轻的那边为白。取两个白球放天平左边，两个白球放天平右边，天平左右各加一个黑球。如两边相等，天平上的球全部正常，涂上绿色，剩下的两个黑球分放天平两侧再称一次可知重的那个为怪球。如两边不等，说明怪球要么在轻的那边两个白球之中，要么是重的那边的黑球，如何确定是哪种呢？将怀疑中的白球分放在天平两边再称一次便知。
12球问题是个大家耳熟能详的问题，但这个特殊解法却是作者自己想出来的。我最早把这个解法告诉女儿，她为此专门做了一期视频，在油管上发表，标题是 “Can you solve the classic 12 marbles riddle?”，有兴趣的读者不妨找来看看。
12球问题是个大家耳熟能详的问题，但这个特殊解法却是作者自己想出来的。我最早把这个解法告诉女儿，她为此专门做了一期视频，在油管上发表，标题是 “Can you solve the classic 12 marbles riddle?”，有兴趣的读者不妨找来看看。
2 再说说一道有趣的逻辑题。它是这样描述的：
在浩瀚的太平洋上，有一座孤独的小岛，那里有一个奇怪的部落，部落里有100个居民。他们知道自己眼睛的颜色只可能是红绿蓝中的一种。该部落信奉一种特殊的宗教，不允许知道自己眼睛的确切颜色，也不允许彼此探讨与眼睛颜色有关的话题，更不允许通过照镜子或观察水面等反射物了解自己眼睛的颜色。而且一旦某人知道了自己眼睛的颜色，他就要于当天的正午在部落中心当着所有居民的面拔刀自刎。
岛上居民智商很高，一个个都具有超强的逻辑推理能力。而且一旦通过某种蛛丝马迹推断出自己眼睛的颜色，必然会依从教规于当天正午在部落中心自刎。大家的视力都非常好，没有色盲色弱的问题。
岛上居民们安居乐业，岁月静好，一派祥和。不料有一天风雨交加，吹来了一个到此避风躲雨的外乡人。孤岛鲜有外人到访，岛上居民热情好客，竭尽所能招待了这位不速之客。
在告别酒宴上，客人由衷感谢大家给予的帮助，并且一时兴起，竟忘掉了岛上那条不许探讨眼睛颜色的规矩，当着所有人的面说：“更让我惊讶的是，你们当中居然有红眼睛的人。”这时众人表情错愕，外乡人知道自己失言了，内心愧疚，闷闷不乐离开了他感恩的小岛。
然后他想起来，岛上所有人的眼睛都是红色的，每个人都能看到另外99人的眼睛颜色，所以都知道岛上至少有99个红眼睛的人，而自己所说的话并未超出他们所知，丝毫没有给他们提供任何新的信息，因此内疚感稍有减轻。
令人想不到的是，在客人离开后的第一百天，岛上居民同时都在部落中心自杀了。
这实在出人意料，外乡人悲痛异常，却始终想不明白原委。
聪明的读者知道为什么吗？外乡人到底有没有提供岛人不知的信息？如果没有，他们为什么会在第一百天同时自杀？
3 最后说说不完备性定理。
要说不完备性定理，就得先说说哥德尔。
知道歌德尔的人可能不多，不知道爱因斯坦的人应该也不多。晚年的爱因斯坦曾经说过：他自己的工作已不重要，他之所以要去研究所（Institute for Advanced Study）上班仅仅是因为能够享有和哥德尔一起走路回家的特权。
上世纪末的时代周刊列出二十世纪一百位对人类影响最大的人物，哥德尔作为数学家名列其中。自然，这样的名单不可能少了物理学家爱因斯坦。哥德尔的全名是库尔特·弗雷德里希·哥德尔（KurtFriedrich G¨odel），于1906年4月28日 出 生 在 奥 匈帝 国 的Br¨unn。 Br¨unn是那时的地名，现在改做Brno，译作布尔诺或布隆，而且国名也改了；1918年第一次世界大战结束后叫捷克斯洛伐克，现在就叫捷克了。
哥德尔生性多疑，爱提问题，因此家人给他取了个外号，叫“为什么”先生。他有一个大四岁的哥哥，叫鲁道夫·哥德尔。值得一提的是他爸爸也叫鲁道夫·哥德尔。 父子同名在中国从未听说过，在西方却不鲜见，可以充分体现东西方文化的截然不同。 老鲁道夫没读多少书，12岁就进了纺织学校，后来进了纺织工厂并因为工作出色而成了股东，过上了富裕生活。 妈妈叫Marianne，受过良好的教育，哥德尔兄弟的早期教育都受惠于她。
哥德尔自幼多病，而且从小就患有疑病症。在他八岁的时候，得过一次风湿热（rheumatic fever）。 虽然风湿热并没有给他带来长期的伤害，病痛的痛苦却让他刻骨铭心。他的多疑促使他阅读有关书籍，了解到该病可能有的所有副作用，包括对心脏的损害。医生一再强调他并没有这些副作用，他却坚信医生没说实话。这大概就是疑病症的起因。
哥德尔的疑病症伴随他一生。 他曾经怀疑有人要毒害他，所有的食物都要由他的妻子先尝一尝才肯进食。后来他几乎只吃他妻子为他准备的食物，别人的食物一律不碰。 曾经有段日子他妻子因病住院，不能给他做饭了，于是他就停止进食，终于把自己饿得瘦骨伶仃。
1978 年 1 月14 日伟大的哥德尔于普林斯顿病逝，那时他的体重不到三十公斤。
1924年哥德尔进了维也纳大学。一开始他钟情物理，两年后决定主攻数学。开始准备学数论，后来他参加了由莫里兹·石里克（Moritz Schlick）主持关于数学哲学的学术讨论班，从而对数理逻辑产生了兴趣。
现在来谈谈哥德尔的不完备性定理，该定理被称为二十世纪最伟大的数学成果之一。
德国数学家康托尔创建了集合论，用同样是德国数学家的希尔伯特的话来说，就是为数学建造了一个天堂。现代数学的很多分支，就是建造在集合论的基础之上。然而二十世纪初英国逻辑学家和数学家罗素发现的悖论，直接引发了数学史上的第三次危机。
为了处理这场危机，分别产生了三个不同的数学学派，它们是逻辑学派，直觉主义学派和形式系统或形式主义学派。希尔伯特就是形式系统学派的领军人物。
形式系统学派的目标是要把数学建立在一套无矛盾的并且是完备的形式系统之上。
一个系统如果不会导出相互矛盾的结果，该系统就是无矛盾的，英文单词是consistent。 一个能够由公理和已知定理根据系统内的规则推导出来的命题就是真命题，也就是定理。在一个无矛盾的系统中，不可能出现一个命题和它的否命题同时为真的情况。
什么是完备性？在一个形式系统中，一个命题可以是真的，也可以是假的。系统的完备性要求，所有的真命题都能通过该系统的内部规则推导出来。也就是说，一个命题为真当且仅当它可以通过该系统的内部规则推导出来。换句话说，一个系统如果不完备，就一定存在某个命题是真的，但却不能通过该系统的内部规则推导出来。经过该系统的内部规则推导的过程也叫证明。
希尔伯特是二十世纪最伟大的数学家之一，也是最后一位在数学的几乎所有领域都有重大贡献的数学家。 他在1900年召开的第二次国际数学家大会会上提出的23个著名的数学问题对数学发展产生了巨大的影响。 希尔伯特认为数学领域不应该有不可知，所有的真命题都应有令人信服的证明。他的墓志铭刻着他的名言：我们必须知道，我们定能知道！
哥德尔第一不完备性定理：在任何一个包括自然数体系的形式系统中，如果该系统是无矛盾的，那么它一定是不完备的。
该定理直接颠覆了希尔伯特的认知：数学中的确存在不可知。哥德尔第二不完备性定理：任何一个包括自然数体系的形式系统，它自身的无矛盾性不可能在系统内部获得证明。
非常有趣的是第二不完备性定理可以由第一不完备性定理导出。
在解释了什么是不完备性定理后，书中还比较详细地介绍了什么是哥德尔数，什么是哥德尔命题以及什么数是定理数并考虑下面一个命题函数T(n): n不是一个定理数。
非常奇妙的是这样一个平凡无奇的命题函数，将带给我们一个颠覆认知的结果：数学中的确存在真命题但却永远无法被证明。
不完备性定理是油管上的一个热门话题，不少视频都谈到过它。但本书中提到的方法和它们都不相同，是比较简单好懂的了，有兴趣的朋友不妨读一读其中的证明。
有趣的数学问题还包括以下章节：数学中的悖论，奇妙的无穷大，希尔伯特旅馆，中国剩余定理，有趣的概率问题和贝叶斯定理，每一章都花了不少心血。
《数学趣谈》快百日了，为什么想了解它的人少之又少？唉，时运不济，命途多舛，只好躲在深闺人未识了。
上世纪末的时代周刊列出二十世纪一百位对人类影响最大的人物，哥德尔作为数学家名列其中。自然，这样的名单不可能少了物理学家爱因斯坦。哥德尔的全名是库尔特·弗雷德里希·哥德尔（KurtFriedrich G¨odel），于1906年4月28日 出 生 在 奥 匈帝 国 的Br¨unn。 Br¨unn是那时的地名，现在改做Brno，译作布尔诺或布隆，而且国名也改了；1918年第一次世界大战结束后叫捷克斯洛伐克，现在就叫捷克了。
哥德尔生性多疑，爱提问题，因此家人给他取了个外号，叫“为什么”先生。他有一个大四岁的哥哥，叫鲁道夫·哥德尔。值得一提的是他爸爸也叫鲁道夫·哥德尔。 父子同名在中国从未听说过，在西方却不鲜见，可以充分体现东西方文化的截然不同。 老鲁道夫没读多少书，12岁就进了纺织学校，后来进了纺织工厂并因为工作出色而成了股东，过上了富裕生活。 妈妈叫Marianne，受过良好的教育，哥德尔兄弟的早期教育都受惠于她。
哥德尔自幼多病，而且从小就患有疑病症。在他八岁的时候，得过一次风湿热（rheumatic fever）。 虽然风湿热并没有给他带来长期的伤害，病痛的痛苦却让他刻骨铭心。他的多疑促使他阅读有关书籍，了解到该病可能有的所有副作用，包括对心脏的损害。医生一再强调他并没有这些副作用，他却坚信医生没说实话。这大概就是疑病症的起因。
哥德尔的疑病症伴随他一生。 他曾经怀疑有人要毒害他，所有的食物都要由他的妻子先尝一尝才肯进食。后来他几乎只吃他妻子为他准备的食物，别人的食物一律不碰。 曾经有段日子他妻子因病住院，不能给他做饭了，于是他就停止进食，终于把自己饿得瘦骨伶仃。
1978 年 1 月14 日伟大的哥德尔于普林斯顿病逝，那时他的体重不到三十公斤。
1924年哥德尔进了维也纳大学。一开始他钟情物理，两年后决定主攻数学。开始准备学数论，后来他参加了由莫里兹·石里克（Moritz Schlick）主持关于数学哲学的学术讨论班，从而对数理逻辑产生了兴趣。
现在来谈谈哥德尔的不完备性定理，该定理被称为二十世纪最伟大的数学成果之一。
德国数学家康托尔创建了集合论，用同样是德国数学家的希尔伯特的话来说，就是为数学建造了一个天堂。现代数学的很多分支，就是建造在集合论的基础之上。然而二十世纪初英国逻辑学家和数学家罗素发现的悖论，直接引发了数学史上的第三次危机。
为了处理这场危机，分别产生了三个不同的数学学派，它们是逻辑学派，直觉主义学派和形式系统或形式主义学派。希尔伯特就是形式系统学派的领军人物。
形式系统学派的目标是要把数学建立在一套无矛盾的并且是完备的形式系统之上。
一个系统如果不会导出相互矛盾的结果，该系统就是无矛盾的，英文单词是consistent。 一个能够由公理和已知定理根据系统内的规则推导出来的命题就是真命题，也就是定理。在一个无矛盾的系统中，不可能出现一个命题和它的否命题同时为真的情况。
什么是完备性？在一个形式系统中，一个命题可以是真的，也可以是假的。系统的完备性要求，所有的真命题都能通过该系统的内部规则推导出来。也就是说，一个命题为真当且仅当它可以通过该系统的内部规则推导出来。换句话说，一个系统如果不完备，就一定存在某个命题是真的，但却不能通过该系统的内部规则推导出来。经过该系统的内部规则推导的过程也叫证明。
希尔伯特是二十世纪最伟大的数学家之一，也是最后一位在数学的几乎所有领域都有重大贡献的数学家。 他在1900年召开的第二次国际数学家大会会上提出的23个著名的数学问题对数学发展产生了巨大的影响。 希尔伯特认为数学领域不应该有不可知，所有的真命题都应有令人信服的证明。他的墓志铭刻着他的名言：我们必须知道，我们定能知道！
哥德尔第一不完备性定理：在任何一个包括自然数体系的形式系统中，如果该系统是无矛盾的，那么它一定是不完备的。
该定理直接颠覆了希尔伯特的认知：数学中的确存在不可知。哥德尔第二不完备性定理：任何一个包括自然数体系的形式系统，它自身的无矛盾性不可能在系统内部获得证明。
非常有趣的是第二不完备性定理可以由第一不完备性定理导出。
在解释了什么是不完备性定理后，书中还比较详细地介绍了什么是哥德尔数，什么是哥德尔命题以及什么数是定理数并考虑下面一个命题函数T(n): n不是一个定理数。
非常奇妙的是这样一个平凡无奇的命题函数，将带给我们一个颠覆认知的结果：数学中的确存在真命题但却永远无法被证明。
不完备性定理是油管上的一个热门话题，不少视频都谈到过它。但本书中提到的方法和它们都不相同，是比较简单好懂的了，有兴趣的朋友不妨读一读其中的证明。
有趣的数学问题还包括以下章节：数学中的悖论，奇妙的无穷大，希尔伯特旅馆，中国剩余定理，有趣的概率问题和贝叶斯定理，每一章都花了不少心血。
《数学趣谈》快百日了，为什么想了解它的人少之又少？唉，时运不济，命途多舛，只好躲在深闺人未识了。
