在市场的浪潮中，价格起伏如潮水。
有人认为它全凭运气，有人相信它是理性的结果。
上世纪七十年代，布莱克（Fischer Black）、舒尔斯（Myron Scholes）和默顿（Robert Merton）提出了一个惊人的想法：
即使未来无法预测，我们也能用数学为风险定价。
从那一刻起，金融世界第一次有了能度量不确定性的工具。
这就是著名的 Black–Scholes–Merton 模型（Black–Scholes–Merton Model, BSM）。
随机漫步与布朗运动
想象你蒙着眼走路，每一步要么前进，要么后退，概率各一半。
这就是随机漫步（Random Walk）。
股票价格的变化也是如此，看似杂乱无章，却有统计规律。
布朗（Brown）观察到花粉在水中不断抖动，那是分子不停撞击的结果。
股票价格也像那颗花粉，被情绪、政策、资金和新闻不断撞击。
这种连续但不平滑的运动，便是布朗运动（Brownian Motion）。
由于股票价格不会为负，科学家提出了几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）。
它假设价格的对数变化率服从正态分布。
以苹果公司为例，若当前股价 180 美元、年收益率 8%、波动率 20%，
一年后股价落在 150 至 220 美元之间的概率约为 68%。
虽然未来方向未知，但可能性可以被数学刻画。
黑舒尔斯默顿模型：风险的价格
BSM 模型最重要的一个结果是认沽认购平价（Put–Call Parity）：
C + PV(K) = P + S
看涨期权（Call Option）加上行权价现值（PV(K)）的价值，
等价于看跌期权（Put Option）加上股票现价（S）。
假设苹果股价 180 美元，一年期行权价 180 美元的看涨期权价格为 10 美元，
无风险利率为 5%，行权价现值为 171.4 美元。
若看跌期权价格为 5 美元，则 C + PV(K) = 181.4，而 P + S = 185。
套利者会买入便宜组合、卖出贵的组合，市场最终回到平衡。
Black 公式（Black’s Formula）则将模型扩展到远期合约（Forward Contracts）。
例如黄金远期价格 2000 美元、波动率 20%，一年期行权价 2000 美元的看涨期权价值约 120 美元。
这样，商品、外汇、利率市场的风险也能精确定价。
所有衍生品——看跌期权、价差期权、蝶式结构——都可以通过若干看涨期权组合出来。
理解一个 Call，就能推导整个衍生品宇宙。
隐含波动率：市场的温度
期权价格中蕴藏着市场对未来波动的预期。
这个隐藏的指标叫隐含波动率（Implied Volatility）。
如果把不同执行价的隐含波动率画在图上，会看到一条“笑脸曲线”，
这就是波动率微笑（Volatility Smile）。
2020 年三月，美股暴跌。
标普 500 看跌期权隐含波动率从 15% 飙升至 80%。
投资者蜂拥买入保护性看跌期权，曲线出现明显倾斜。
隐含波动率成了市场的体温计。
温度高意味着恐慌，温度低意味着贪婪。
希腊字母：风险的语言
期权价格受到许多变量影响。
希腊字母（Greeks）是用来衡量这些敏感度的工具。
Delta 表示期权对标的价格变动的敏感度。
假设你持有特斯拉看涨期权，Delta 为 0.6，股价每涨 1 美元，期权涨 0.6 美元。
做市商会卖出 0.6 股对冲风险，这称为 Delta 对冲（Delta Hedging）。
Gamma 衡量 Delta 的变化速度。
当期权接近到期时，Gamma 会急剧上升，交易员必须频繁调整仓位。
Theta 表示时间价值的流逝。
Theta 为 -0.03 意味着每天损失 3 美分。
卖方喜欢时间的流逝，买方则希望时间停滞。
Vega 衡量波动率对期权价格的影响。
财报前，隐含波动率上升使期权变贵。
Rho 则衡量利率变化的影响，对长期期权尤其重要。
数学的魔法：伊藤引理
伊藤引理（Ito’s Lemma）是连接随机路径与定价模型的桥梁。
如果股票价格遵循几何布朗运动：
dS = μSdt + σSdz
那么函数 f(S, t) 的变化为
df = (μSf? + ½σ²S²f?? + f?)dt + σSf?dz
由此可推导出著名的黑舒尔斯默顿偏微分方程（Black–Scholes–Merton PDE）：
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S - rV = 0
只要期权价格符合这个方程，市场中就不存在无风险套利。
这个方程与物理中的热传导方程（Heat Equation）完全等价。
时间像温度，波动率像热量。
财报前的市场就像被加热的金属，波动率上升使期权价格同步升温；
财报公布后热量消退，波动率下降，期权价格回落。
二叉树模型：离散的近似
Cox–Ross–Rubinstein 二叉树模型（CRR Model）把连续的市场过程离散化。
每一步股票要么上升 u 倍，要么下降 d 倍。
以阿里巴巴为例，当前股价 80 美元，一年后上涨 10% 或下跌 10%。
行权价 80 美元的看涨期权，上涨时价值 8 美元，下跌时为 0。
无风险利率 5%，期权现值约 3.8 美元，与 BSM 模型几乎一致。
在 CRR 模型中，还可以在每个节点计算 Delta 与 Gamma，
得到一张完整的风险敏感度地图。
美式期权：自由的价值
欧式期权（European Options）只能在到期行权，
美式期权（American Options）则可以在任意时刻行权。
这份自由，本身就有价值。
在不派息股票上，提前行权通常不划算。
但在派息股票上，如沃尔玛，
除息日前的股息现值有时大于剩余时间价值，
提前行权反而更优。
投资者常用反向归纳法（Backward Induction）寻找最佳时机。
从到期日往前推，每个节点比较“立即行权”和“继续持有”的价值，
取更高者作为最优策略。
路径依赖期权：价格的记忆
有些期权不仅取决于最终价格，还取决于价格的路径。
亚式期权（Asian Option）按平均价格结算，
适合原油与外汇市场，可平滑短期波动。
障碍期权（Barrier Option）在价格触及某一水平时激活或失效。
它们让投资不再是一个瞬间，而是一段旅程。
期权的现实与策略
期权已成为风险管理和策略性建仓的核心工具。
基金经理用看跌期权保护投资组合，
做市商用 Delta–Gamma 对冲维持中性，
散户用小仓位看涨期权博取杠杆收益。
特斯拉股价从 120 美元涨到 250 美元，
行权价 180 美元的看涨期权从 5 美元涨到 70 美元。
这是杠杆的力量，也是风险的镜子。
同样的结构也可以反向使用，成为稳健收益策略。
今天我卖出了 FIG 的看涨期权，行权价 50 美元，获得权利金 4.5 美元。
当前 FIG 股票价格为 55 美元。
表面看似冒险，实则逻辑清晰。
Adobe 曾在 2022 年宣布以约 200 亿美元收购 Figma，
市场普遍认为对应估值约为每股 50 美元。
虽然交易最终未完成，但 50 美元成了心理锚点。
若 FIG 股价稳定在 50 到 55 美元区间，
卖出 50 行权价的看涨期权既可赚取 4.5 美元权利金，
又能在被行权时以 45.5 美元的有效成本买入股票。
如果股价不跌，我赚权利金；
如果被行权，我以折价买入。
这笔交易的结构简单，却体现了理性期权思维：
在确定的边界内，利用概率和时间获得优势。
当然，没有哪笔交易是完全无风险的。
若市场重估 FIG，或消息刺激价格突破，
卖出期权者仍需承担被迫交割的风险。
理性的投资者在收益前，先设计好退出的路径。
期权的力量不在预测，而在选择。
它让投资者定义自己的胜负条件，
在不确定的世界中找到可控的秩序。
布莱克、舒尔斯和默顿没有预测未来，
他们只是告诉我们，未来的可能性可以被量化。
风险不再是恐惧，而是一种度量。
每一次价格波动，都是市场在说话。
期权定价（Option Pricing）
BrightLine (2025-10-20 11:17:56) 评论 (6)在市场的浪潮中，价格起伏如潮水。
有人认为它全凭运气，有人相信它是理性的结果。
上世纪七十年代，布莱克（Fischer Black）、舒尔斯（Myron Scholes）和默顿（Robert Merton）提出了一个惊人的想法：
即使未来无法预测，我们也能用数学为风险定价。
从那一刻起，金融世界第一次有了能度量不确定性的工具。
这就是著名的 Black–Scholes–Merton 模型（Black–Scholes–Merton Model, BSM）。
随机漫步与布朗运动
想象你蒙着眼走路，每一步要么前进，要么后退，概率各一半。
这就是随机漫步（Random Walk）。
股票价格的变化也是如此，看似杂乱无章，却有统计规律。
布朗（Brown）观察到花粉在水中不断抖动，那是分子不停撞击的结果。
股票价格也像那颗花粉，被情绪、政策、资金和新闻不断撞击。
这种连续但不平滑的运动，便是布朗运动（Brownian Motion）。
由于股票价格不会为负，科学家提出了几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）。
它假设价格的对数变化率服从正态分布。
以苹果公司为例，若当前股价 180 美元、年收益率 8%、波动率 20%，
一年后股价落在 150 至 220 美元之间的概率约为 68%。
虽然未来方向未知，但可能性可以被数学刻画。
黑舒尔斯默顿模型：风险的价格
BSM 模型最重要的一个结果是认沽认购平价（Put–Call Parity）：
C + PV(K) = P + S
看涨期权（Call Option）加上行权价现值（PV(K)）的价值，
等价于看跌期权（Put Option）加上股票现价（S）。
假设苹果股价 180 美元，一年期行权价 180 美元的看涨期权价格为 10 美元，
无风险利率为 5%，行权价现值为 171.4 美元。
若看跌期权价格为 5 美元，则 C + PV(K) = 181.4，而 P + S = 185。
套利者会买入便宜组合、卖出贵的组合，市场最终回到平衡。
Black 公式（Black’s Formula）则将模型扩展到远期合约（Forward Contracts）。
例如黄金远期价格 2000 美元、波动率 20%，一年期行权价 2000 美元的看涨期权价值约 120 美元。
这样，商品、外汇、利率市场的风险也能精确定价。
所有衍生品——看跌期权、价差期权、蝶式结构——都可以通过若干看涨期权组合出来。
理解一个 Call，就能推导整个衍生品宇宙。
隐含波动率：市场的温度
期权价格中蕴藏着市场对未来波动的预期。
这个隐藏的指标叫隐含波动率（Implied Volatility）。
如果把不同执行价的隐含波动率画在图上，会看到一条“笑脸曲线”，
这就是波动率微笑（Volatility Smile）。
2020 年三月，美股暴跌。
标普 500 看跌期权隐含波动率从 15% 飙升至 80%。
投资者蜂拥买入保护性看跌期权，曲线出现明显倾斜。
隐含波动率成了市场的体温计。
温度高意味着恐慌，温度低意味着贪婪。
希腊字母：风险的语言
期权价格受到许多变量影响。
希腊字母（Greeks）是用来衡量这些敏感度的工具。
Delta 表示期权对标的价格变动的敏感度。
假设你持有特斯拉看涨期权，Delta 为 0.6，股价每涨 1 美元，期权涨 0.6 美元。
做市商会卖出 0.6 股对冲风险，这称为 Delta 对冲（Delta Hedging）。
Gamma 衡量 Delta 的变化速度。
当期权接近到期时，Gamma 会急剧上升，交易员必须频繁调整仓位。
Theta 表示时间价值的流逝。
Theta 为 -0.03 意味着每天损失 3 美分。
卖方喜欢时间的流逝，买方则希望时间停滞。
Vega 衡量波动率对期权价格的影响。
财报前，隐含波动率上升使期权变贵。
Rho 则衡量利率变化的影响，对长期期权尤其重要。
数学的魔法：伊藤引理
伊藤引理（Ito’s Lemma）是连接随机路径与定价模型的桥梁。
如果股票价格遵循几何布朗运动：
dS = μSdt + σSdz
那么函数 f(S, t) 的变化为
df = (μSf? + ½σ²S²f?? + f?)dt + σSf?dz
由此可推导出著名的黑舒尔斯默顿偏微分方程（Black–Scholes–Merton PDE）：
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S - rV = 0
只要期权价格符合这个方程，市场中就不存在无风险套利。
这个方程与物理中的热传导方程（Heat Equation）完全等价。
时间像温度，波动率像热量。
财报前的市场就像被加热的金属，波动率上升使期权价格同步升温；
财报公布后热量消退，波动率下降，期权价格回落。
二叉树模型：离散的近似
Cox–Ross–Rubinstein 二叉树模型（CRR Model）把连续的市场过程离散化。
每一步股票要么上升 u 倍，要么下降 d 倍。
以阿里巴巴为例，当前股价 80 美元，一年后上涨 10% 或下跌 10%。
行权价 80 美元的看涨期权，上涨时价值 8 美元，下跌时为 0。
无风险利率 5%，期权现值约 3.8 美元，与 BSM 模型几乎一致。
在 CRR 模型中，还可以在每个节点计算 Delta 与 Gamma，
得到一张完整的风险敏感度地图。
美式期权：自由的价值
欧式期权（European Options）只能在到期行权，
美式期权（American Options）则可以在任意时刻行权。
这份自由，本身就有价值。
在不派息股票上，提前行权通常不划算。
但在派息股票上，如沃尔玛，
除息日前的股息现值有时大于剩余时间价值，
提前行权反而更优。
投资者常用反向归纳法（Backward Induction）寻找最佳时机。
从到期日往前推，每个节点比较“立即行权”和“继续持有”的价值，
取更高者作为最优策略。
路径依赖期权：价格的记忆
有些期权不仅取决于最终价格，还取决于价格的路径。
亚式期权（Asian Option）按平均价格结算，
适合原油与外汇市场，可平滑短期波动。
障碍期权（Barrier Option）在价格触及某一水平时激活或失效。
它们让投资不再是一个瞬间，而是一段旅程。
期权的现实与策略
期权已成为风险管理和策略性建仓的核心工具。
基金经理用看跌期权保护投资组合，
做市商用 Delta–Gamma 对冲维持中性，
散户用小仓位看涨期权博取杠杆收益。
特斯拉股价从 120 美元涨到 250 美元，
行权价 180 美元的看涨期权从 5 美元涨到 70 美元。
这是杠杆的力量，也是风险的镜子。
同样的结构也可以反向使用，成为稳健收益策略。
今天我卖出了 FIG 的看涨期权，行权价 50 美元，获得权利金 4.5 美元。
当前 FIG 股票价格为 55 美元。
表面看似冒险，实则逻辑清晰。
Adobe 曾在 2022 年宣布以约 200 亿美元收购 Figma，
市场普遍认为对应估值约为每股 50 美元。
虽然交易最终未完成，但 50 美元成了心理锚点。
若 FIG 股价稳定在 50 到 55 美元区间，
卖出 50 行权价的看涨期权既可赚取 4.5 美元权利金，
又能在被行权时以 45.5 美元的有效成本买入股票。
如果股价不跌，我赚权利金；
如果被行权，我以折价买入。
这笔交易的结构简单，却体现了理性期权思维：
在确定的边界内，利用概率和时间获得优势。
当然，没有哪笔交易是完全无风险的。
若市场重估 FIG，或消息刺激价格突破，
卖出期权者仍需承担被迫交割的风险。
理性的投资者在收益前，先设计好退出的路径。
期权的力量不在预测，而在选择。
它让投资者定义自己的胜负条件，
在不确定的世界中找到可控的秩序。
布莱克、舒尔斯和默顿没有预测未来，
他们只是告诉我们，未来的可能性可以被量化。
风险不再是恐惧，而是一种度量。
每一次价格波动，都是市场在说话。