戴榕菁
点的概念在人类文明中特别是在几何学中有着重要地位。一个几何点被定义为在任何维度上大小为零的存在，我们也可以称之为零维度的存在。在任何其他几何形式（线、面或体）中都有无穷多个点；与之相应地，任何非零维度的几何形式也都包含着无穷多的其它低维度几何形式。这是任何几何研究（无论是欧几里得几何还是非欧几里得几何）的基本概念。
作为几何学基本概念的核心，零尺寸的点是一个由人类的想象构建出的抽象概念。尽管这是一种合理的抽象，遗憾的是这个抽象概念会导致这样的逻辑矛盾：如果一个点没有体积，它就不应占据空间，但如果它不占据空间，无论你沿任何方向堆积多少个，它们都不应累积成任何其它几何形式。类似地，几何线和几何面的概念在逻辑上也是有缺陷的。
几何点概念（以及它在时间中的对应概念——瞬间）中的上述逻辑缺陷是令古希腊的悖论大师芝诺对于点与线之间的关系及动与静之间关系产生困惑的真正根源，这些困惑促成了他的那些著名的悖论【[1],[2]】。亚里士多德在其著名的《物理学》【[3],[4]】一书中花了大量篇幅试图解决芝诺的困惑，但效果并不理想，主要是因为他没有意识到上述几何点的逻辑缺陷才是产生困惑的根源。即便在其另一部名著《形而上学》中，亚里士多德仍未能令人满意地解决几何点与线的连续性之间的过渡问题。人类语言之点缺陷并非仅表现在几何学上，也同样反映在生活中与点有关的其它方面。比如黑格尔在他的《逻辑学》【[5],[6]】试图沿着亚里士多德的思路，用点的概念为其“无中生有”的本体论提供一个逻辑严密的推导，但同样未能成功，甚至都没有意识到自己的失败【[7],[8]】。
人类语言之上述点缺陷直接影响了几何连续性概念。在数学上，几何连续性又反映为实数的连续性，而实数的概念又是源自远古时期的计数系统的延申。与人类语言中点概念所具有的上述缺陷类似，人类的计数的语言也无法丝滑地表达连续这一概念。罗素曾在他的《我们关于外部世界的知识》【[9],[10]】中试图用他的事件（瞬间）集来建立时间连续性模型时遇到了挫折。而他所采用的集合的方式在本质上来说与人类的计数系统是等价的，因而他的失败本身所反映出的其实是人类计数语言在反映连续性上的缺陷。像亚里士多德和黑格尔一样，罗素没有意识到他的努力失败的原因是人类语言系统的缺陷【[11],[12],[13]】。
讨论
本文所讨论的不是人类的某种语言的缺陷，而是人类语言整体在点这个概念上存在的缺陷，之所以敢这么肯定主要因为如果有一个语言能克服这一缺陷，那么一定会反映在其它语言中，而目前我所知的英文和中文这两大语言显然都具有相关的缺陷。
当我们认识到芝诺，亚里士多德，黑格尔，和罗素所遇到的问题之根本原因是人类用于表达点这一概念及用于计数的（自然）语言系统的缺陷后，我们很容易想到用比黑格尔早一百多年发明的微积分来解决相关的挑战。但实际上，尽管微积分作为一种数学工具在解决与几何或实数的连续性有关的问题上非常有效从而可以为芝诺排难解惑，它并没有为排除人类的逻辑系统在点这个概念上存在的缺陷提供答案，更无法在自然语言的系统中直接解决上述令亚里士多德，黑格尔，和罗素受挫的点与计数上的缺陷。
结束语
20世纪是人类科技一地鸡毛的百年。那一百年里产生了很多错误理论，也夸大了一些没有错的理论之价值，而关于著名的图灵死机理论和哥德尔定理以及与之相关的一系列理论对于揭示所谓的人类逻辑体系之缺陷的意义的宣传就是典型的例子。如本作者在2021年指出的【[14],[15]】，他们所揭示的所谓人类逻辑的缺陷是一个非常简单的可以由对语言进行简单的规范进行排除的奇异点；当我们将相关的规范加入人工智能的基本程式逻辑中之后，如果不是读到有关那些理论的文章的话，其“思维”基于数理逻辑的人工智能根本不会意识到相关问题。
但本文所讨论的人类语言之点缺陷以及与之相关的计数语言的缺陷则是人类的语言（逻辑）体系中无法排除的真正缺陷。虽然微积分可以在相关的数学问题上提供帮助，它仍无法解决相关的语言逻辑上的缺陷。
人类语言的点缺陷
【[1]】维基百科。芝诺悖论。https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E8%8A%9D%E8%AF%BA%E6%82%96%E8%AE%BA。本页面最后修订于2025年3月9日 (星期日) 13:18。
[[2]]Wikipedia. Zeno's paradoxes. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes. Last edited on 1 December 2024, at 13:16 (UTC).
【[3]】亚里士多德 （350BC） 物理学。https://www.chaoren.club/8417.html
[[4]]Aristotle (350BC). Physics. Translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye. Retrieved from: http://classics.mit.edu//Aristotle/physics.html
【[5]】黑格尔（1816）逻辑学。https://file.cz123.top/6Social_book/WEST_PHILOSOPHY/4NINETEENTH_CENTURY/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%AD%A6%20%E4%B8%8A%20%28%E9%BB%91%E6%A0%BC%E5%B0%94%29.pdf
[[6]] Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Science of Logic, 1816, trans. A. V. Miller, George Allen & Unwin, New York: Humanity Books, 1969, Introduction: General Notion of Logic §33- §34, Retrieved from:https://www.marxists.org/reference/archive/hegel/works/hl/hlintro.htm#HL1_43
[[8]]Dai, R. (2017). The Imperfection of Hegelian Ontology. First posted on wordpress.com. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/342992318_The_Imperfection_of_Hegelian_Ontology
【[9]】罗素（1914）我们关于外部世界的知识http://philosophychina.cssn.cn/webpic/web/philosophy/philosophyac/philosophyorg/20100831085457767039.pdf
[[10]] Russell, B. (1914). Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. First published in 1914 by The Open Court Publishing Company, Reissued by George Allen & Unwin Ltd.1922. pg 116-121. Retrieved from: http://www.gutenberg.org/files/37090/37090-h/37090-h.htm
[[13]]Dai, R. (2025). On the Notion of Infinity ∞. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/387136504_On_the_Notion_of_Infinity
[[15]]Dai, R. (2021). The Limit of Turing’s Halting Problem Theory and Gödel Theorems. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/355683815_The_Limit_of_Turing_Theory_of_the_Halting_Problem_and_Godel_Incompleteness_Theorems
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