《我们心中的科大》--建校60周年庆
一个时代的数学传奇
——代数几何的白马王子肖刚（二）
汤涛，林亚南
良师益友
肖刚在科大的一年多有两位关键人物。一位是恩师曾肯成，另一位就是知音李克正。作者写此文时正在呼和浩特参加严加安院士主办的一个会议。参会者有 1978 年参加全国第一届研究生考试、比肖刚晚半年成为曾肯成研究生的李尚志教授。多年后李尚志担任中科大数学系主任，后来任北京航天航空大学数学院院长。李尚志教授也是第一届全国教学名师。他才思敏捷、口若悬河，是典型的未见其人、先闻其声的爽快人。
李尚志教授告诉笔者他是 1965 年进科大的，应该是文革前最后一届通过高考入学的大学生。他说曾肯成当时在学校就很有名，大家都议论他的脑子简直不是人脑子，太聪明了。这一点从北大老校长丁石孙《哭曾肯成》一文可以看出一些：
二〇〇四年五月的一天，我突然接到朋友的电话，告诉我曾肯成已去世。我和曾肯成在清华是同班同学，一直保持着较好的关系……同学几年我感觉到他的智力超群。他不但有很
快的理解能力，而且有很强的记忆力，我认为这两者同时都强的人并不太多。在同学期间，曾肯成并不是非常用功，他看了许多闲书，花在数学上的时间并不是太多，但在全班
同学当中是学得最好的……1956 年他被派到莫斯科大学留学，1957 年反右派开始，曾肯成就被打成右派遣送回国，罪名之一是他经常和苏联的学生在一起辩论，批评苏联的政制度……后来有其他留苏的同学告诉我，曾肯成俄文学得太好了，因为一般的留学生俄文还没有达到与苏联学生来辩论政治问题的水平。就在这种罪名下，他就中断了学习，回到国内，戴上了右派帽子。
李尚志在中科大读本科时，就知道有个叫曾肯成的怪才，是个老“右派”，但从来没有听过他讲课。“文革”时，师生俩竟被安排在同一个寝室，睡上下铺。曾肯成是被批判的
阶级敌人，李尚志是革命学生，要批判他。有一次曾肯成悄悄出了３道数学题让他教过的学生做，李尚志也跟着做。趁没人时，他向曾肯成请教是否全做对了，曾肯成淡淡地说：
“你全做对了。”李尚志分明从他眼中看到了闪烁的喜悦——作为一名教师特有的喜悦。就是这件事，使得李尚志考研时，毫不犹豫地选择曾肯成做导师。他也是曾肯成名下的
第一位博士。
百度百科介绍说：“曾肯成教授是我国代数学和密码学领域的著名专家，我国首批博士生导师，是我国代数密码学的创始人之一。”曾肯成最辉煌的贡献是建立密码，造密码机。
这也是搞代数、搞数论的高手们最感兴趣的活之一。麦加的《暗算》写的就是这类事情，它的剧本是国内同类题材中最成功的。加上王宝强出色的傻乎乎的表演，颇有看头。麦加
是和破译相关的军事学校的毕业生，而曾肯成的研究是同一军事部门最感兴趣的。上个世纪八十年代，国家有关部门为他成立了信息安全国家重点实验室。要知道，国字头的重点
实验室上个世纪八十年代寥寥可数，只有超级学霸才有可能申请成功。三十年后的今天，申请成功一个这样的实验室也是非常困难的。曾肯成去世后中国科大的讣告上写道：“他
创办的DCS 中心和信息安全国家重点实验室，取得了许多优异的学术成就,为我国的密码理论研究与信息安全事业做出了杰出的贡献。曾肯成教授作为第一贡献者，先后获得国家
科技进步一等奖一项、二等奖一项、中国科学院科技进步一等奖两项。”
2013 年，斯诺登的出现把美国国家安全局包括“棱镜”项目在内的多个秘密情报监视项目曝光。而中国早在1980 年代就开始研究的信息安全就是针对这类窃听的；中国这一研究的开拓人就是代数专家、肖刚的导师曾肯成。
中国首批博士（最后一排）和他们的导师（倒数第二排）；
倒数第二排左7 是曾肯成教授
设在原合肥银行干部学校，房子相当紧张。校方好不容易在办公楼一层第一间办公室里放上几个床铺安排特招的研究生，肖刚和李克正同宿舍。人们常看到肖、李二位经常外出散步，总是李克正走在前面，滔滔不绝地说话，而肖刚一声不响跟在后面。
英语是李克正的软肋，他插队后几乎10 年没接触英语,考研究生时也没考英语，否则他恐怕进不了科大读研。入学后上的英语课很枯燥,肖刚觉得这样的英语课对李克正不合
适,因为他需要在短时间内达到英语的基本技能，即阅读专业文献和简单日常会话等。于是肖刚说还是我来教你吧,并开始严肃地教起来。比如要李克正每天背单词,说一天背不
了一千个,背五百个总可以吧？把一天一百个也背不了的李克正折磨得要命。肖刚还用录音机从电台里录了一些故事,如《汤姆索亚历险记》、《奥亨利短篇小说选》等,让李克正听写,要写到一个词都不错才行。严师出高徒，两个月后学生已经可以和老师一起翻译一本书了。一年后,学校选派他俩出国留学，他们打定主意非代数几何不学。去哪个国家呢?美国、苏联、法国都是代数几何强国, 但当时和苏联的关系还不大适合派留学生。曾肯成说,
你们两人不要去同一个国家,一个去美国、一个去法国。肖刚想了想对李克正说, 看来只能你去美国我去法国了。是的,李克正那时英语都还不行, 再学一门法语非要把他逼疯了。
肖刚于是开始学法语。李克正回忆说：“肖刚首先找了本教科书, 像读小说那样很快地读了, 又找了本语法书, 大约读了两三天, 然后就开始背单词, 每天至少背一千个,多的时候可以背两千个。背了三四天后说, 我现在至少掌握了五千个单词了。这时就开始练听力, 白天听录音, 夜里两点用自己组装的高灵敏度收音机收听法国电台的广播。就这样学了两个星期, 我问他听法国电台能听懂多少, 他说大约百分之七十吧。天哪, 我学了这么久的英语也没能听懂百分之七十。”
除了语言，在曾肯成的指导下，他们的数学水平也迅速提高。曾肯成让肖刚和李克正自学李群、李代数、并在讨论班上报告。文革前大学生查建国1977 年按照正常考试进入曾肯成的门下，曾肯成叮嘱他学李代数不懂就去问肖刚、李克正，可见曾对这两个弟子的器重。文革后科大首届数学本科生里的尖子常常往肖刚和李克正的寝室跑，主要是问一些课
外的数学难题。
留学巴黎
巴黎是一个古老而又文雅的城市，其与数学的渊源之深足以令世界上任何城市羡慕和嫉妒。有人说，如果你喜欢数学，请到巴黎来，因为巴黎是数学的天堂；如果你讨厌数学，请到巴黎来，因为巴黎将令你忘掉数学。法国也帮助中国孕育了众多的数学家。老一辈数学家陈省身、吴文俊、关肇直，中科院院士李大潜、彭实戈、严加安、张伟平等都在法国得到了数学的熏陶。
法国与数学
1889 年的法国世博会上，埃菲尔铁塔应时而生，这一杰作还和72 名法国科学家联系在一起。雕刻在塔楼一层四周的72 位科学家、工程师中，有五分之一是数学家，包括大学教科书上名字前冠了一堆定理的拉普拉斯、傅里叶、柯西、拉格朗日、勒让德、泊松，以及流体力学最重要的方程Navier-Stokes 方程的创始人纳维，创立了画法几何的蒙日，创建了射影几何的彭斯列。法国数学的强盛和拿破仑不无关系。拿破仑早在少年时代就迷上了数学，1784 年著名数学家拉普拉斯发现了拿破仑的数学才能，作为考官促成了拿破仑被巴黎军校录取。在军校
期间，拿破仑掌握了一定的数学知识，并和被誉为法国“牛顿”的拉普拉斯、被称为几何学之父的蒙日等数学家建立了密切的关系。1785 年，16 岁的拿破仑完成学业提前毕业，
在服役期间写过篇《论炮弹的投掷》的文章，内含数学推导和计算。平面几何里面有个拿破仑定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三
角形。”不知这是拿破仑大帝的研究成果，还是他众多数学朋友的赠品。
拿破仑对数学界的朋友很真心，有时候贵族聚餐时，他会请口才一流的傅里叶讲数学科普。他掌权的时代，蒙日做过海军部长，拉普拉斯做过内务部长、被封侯爵，拉格朗日被
授予帝国大十字勋章，拿破仑对他的评价是:“拉格朗日是数学世界高耸的金字塔”。
代数几何
文革十年后，中国的数学和西方距离拉大；很多有识之士提出两条腿走路：一面自己培养高手，一面把优秀的学生送出去。肖刚、李克正等就是被送出的一批；李尚志、单樽等就是被留下自己培养的。多年后的事实证明，这两路兵马最后都为中国的数学发展做出了重要贡献。肖刚在中国的师傅曾肯成做代数、密码，他去法国立志学习代数几何，这门学科当时在中国几乎是空白。
代数几何是数学的一个分支。大致说来，它是研究n 维仿射空间或n 维射影空间中多项式方程组的零点集，称为代数簇。虽然说代数几何的历史可以追溯到古希腊时期的圆锥曲
线研究，也可以认为笛卡尔的解析几何是代数几何的先声，还可以说射影几何是代数几何发展的前奏。
还可以说射影几何是代数几何发展的前奏。但代数几何真正形成和发展还是从黎曼开始。19 世纪中期黎曼提出了黎曼曲面（Riemann surface 一维复流形或复代数曲线）的念，用黎曼曲面上函数论的观点来研究代数曲线。他和他的学生洛赫（Roch）得到了Riemann-Roch 定理，这是代数几何学中的一条中心定理，它建立了函数论和第一个双有理（Birational）不变量——亏格（Genus 洞的个数）的联系，代数曲线可以按照它的亏格分类。19 世纪后期，意大利代数几何学派进行代数曲面（二维代数簇）的双有理等价分类。同时，在代数几何的代数化方面，希尔伯特利用基定理和零点定理建立了代数几何和交换代数之间的联系。
在 20 世纪数学史上，代数几何学（Algebraic Geometry）始终处于一个核心的地位，这从数学界的主要大奖菲尔兹奖的获得者情况即可看出。菲尔兹奖只颁发给40 岁以下的青
年数学家，从1936 年颁发首届奖算起，到2014 年在首尔举行的国际数学家大会上颁发的第27 届奖为止，总共有57 位青年数学家获奖，其中大约有三分之一的人获奖的工作或多
或少与代数几何有一定的联系。
现代代数几何的兴旺和发展和多位法国人有联系，特别是上个世纪三十年代后。在这里提两个相关的传奇故事。20 世纪30 年代后期，法国数学期刊上发表了若干高水平的数学论文，署名为尼古拉•布尔巴基。1939 年出版的一本《数学原理》是一套关于现代数学综合性丛书的首卷，作者也是尼古拉•布尔巴基。这逐渐引起人们的重视，到底谁是布尔
巴基？
布尔巴基实际上是一批年轻的法国数学家，是一个对现代数学有着极大影响的数学家团体,后人称之为布尔巴基学派。学派中大部分是法国数学家，主要的代表人物是韦伊（Weil）、迪多涅（Dieudonne）、嘉当（Cartan）等人，其中嘉当是陈省身的博士后导师。布尔巴基学派在代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色。学派的主要代表人物之一安德烈•韦伊（André Weil）试图用代数几何学来解决代数数论的问题，在其代表作《代数几何基础》一书中，充分使用了交换代数的理论和语言，提出了代数几何里些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。对有限域上的代数簇，韦伊在 1949 年提出了一个猜想，其中最深刻的一部分可以看做黎曼猜想在有限域上的类似，对以后代数几何的发展影响巨大。安德烈•韦伊的妹妹西蒙娜•韦伊是宗教思想家和社会活动家，她深刻地影响了战后的欧洲思潮。年仅34岁的她，留下了约二十卷的著作。兄妹俩都是反法西斯的坚强战士。
15 年后，韦伊的书又被布尔巴基学派的另一位重要成员亚历山大•格罗腾迪克(Grothendieck）的更加深奥的《代数几何原理》（简称EGA）所代替。格罗腾迪克和法数学家让-皮埃尔•塞尔（Serre）合作，用概型的语言改写了代数几何。概型把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的研究中可以应用代数几中的大量概念和思想以及技巧。格罗腾迪克在此基础上极大地发展了代数几何，包括为证明韦伊猜想而建立的l 进制上同调理论。他的思想和工作对代数几何与数学的发展产生了深远的影响，同时在同调代数领域也有建树。他主写的多部巨著共达1 万页以上，成为代数几何学的圣经。迄今为止，格罗腾迪克的著述中还有很多思想未被完全了解，但已经产生许多重要结果，如K 理论的诞生。
伟大的数学家格罗腾迪克（1928-2014）
格罗腾迪克于1966 年荣获菲尔兹奖。一九七四年格罗腾迪克的学生德林（Deligne）用l 进制上同调证明了韦伊猜想中的黎曼假设部分并主要因此于一九七八年获菲尔兹奖。尽管代数几何研究王者辈出，但是大家心目中的教皇只有一个，那就是格罗腾迪克。为世人所称奇的还有格罗腾迪克的离经叛道，虽然贵为20 世纪最伟大的数学家之一，但他基本上属于另类，与学术界距离很远。他没有受过正规教育，也没有按部就
班地在学术阶梯上晋升。1966 年为抗议苏联政府他拒绝去莫斯科举办的国际数学家大会接受菲尔兹奖；1967 年飞赴战火纷飞的越南考察并在森林里为当地学者讲授范
畴论；1970 年的国际数学家大会上,苏联盲人数学家在大会报告中谈及导弹追踪飞机问题，格罗滕迪克愤然登台夺下话筒,抗议他将数学和军事相联系；同年他与工作单位
法国高等科学研究所（IHES）决裂，因为不满IHES 从法国军事机构获取了小额资助；1988 年瑞典科学院授予他六年一度的克拉福德奖，他拒绝了奖章和25 万美元奖金，
除了拒绝领取，他还写信痛斥学术界腐败。1990 年 7 月，格罗腾迪克这位20 世纪代数几何学的“上帝”消失在法国与西班牙交界的比利牛斯山中，成了没有国籍的隐居者。本文即将完成时，我们看到了这样的消息：“据法新社消息，20 世纪最伟大的数学家之一亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）于11 月 13 日逝世，享年86 岁”。
步入代数几何
肖刚于1980 年 1 月到巴黎第11 大学在雷诺（Michel Raynaud）教授指导下攻读博士学位。雷诺教授和他的夫人米谢勒·雷诺（Michèle Raynaud）同是格罗滕迪克的学生。1936 年出生的雷诺教授1967 年开始就在巴黎第11 大学工作，专门研究代数几何。由于他解决了两个著名猜想获得了1987年法国科学院的安培奖和1995 年的美国数学学会的柯尔奖。柯尔奖分别有数论奖（1931 年开始）和代数奖（1928 年开始），获奖者基本上是这两个领域做出最大贡献的学者。每个领域五年授奖一次，2014 年华人数学家张益唐获得了数论柯尔奖。
肖刚的博士导师雷诺（Michel Raynaud）
肖刚在法国攻读博士学位期间主要从事带有亏格(genus)2 的纤维化的代数曲面的分类研究。纤维化是代数几何的研究对象中最常见的一类几何结构。为了研究代数几何，我们经常考虑两个代数簇X,B 之间的满态射f:X→B，这里B的维数严格小于X 的维数。设q∈B 是任何一点，我们称q在f 下的原像F_q 为的态射f 纤维，由定义可见，任何两条
纤维都不相交；X 上任何一点都落在唯一的一条纤维里。站在B 上，也可将X 看成长满了纤维的森林。在实际研究中，我们往往可将一般的纤维化约化成很好的情形比如说纤维
是连通的，纤维的维数都等于X 的维数减去B 的维数等等。当X 是紧复代数曲面（2 为紧复流形），B 是紧复代数曲线（1 为紧复流形）时，一般的纤维是实维数为2（=2（2-1））
的流形，即黎曼面，这些黎曼面具有相同的亏格（洞的个数）。20 世纪60 年代菲尔兹奖获得者小平邦彦（Kodaira）完美的分类了亏格1 的纤维化，并以此为基本工具完成了紧复曲面Enriques–Kodaira 分类，但这个分类对于一类所谓的一般性曲面所知甚少，肖刚研究的亏格二的纤维化正是为了理解一般性曲面。
众所周知，代数几何入门很难，读两三年还看不懂论文都是正常的。但是肖刚来到巴黎后，一年以后就开始发表论文。他在日本数学家崛川（Horikawa）的工作基础上,对亏格二的纤维化作了系统的研究，获得了一系列分类结果，特别是证明了关于这种纤维化的一个重要猜想以及对不规则的亏格二纤维化进行了完整的分类。
肖刚的导师、著名代数几何学家雷诺称赞他是“亏格2的世界专家”。导师是决定学生命运的最重要人物；所以肖刚到法国两年后就拿到博士学位，之后只用了两年拿到国家博士学位。注意到当时法国的规定，必须要博士毕业以后四年才能申请国家博士学位，也就是现在的HDR 学位。所以肖刚的书念得顺风顺水。
顺便说句题外话，肖刚的博士论文答辩,委员会在决议中加了一句锦上添花的话: 肖刚的法语是无可挑剔的。除了很快念完书，拿到学位，肖刚把自己博士论文的精华写成书，在著名的施普林格出版社的数学黄皮书系列中占了一席地位，书名叫《Surfaces _br_eesencourbes de genre deux》（带亏格2纤维化的曲面》（法文）。这家德国的老牌出版社，很早就独具慧眼，把数学高手们潜心做出的高水平结果变成专著或教科书，配以黄色封面，搞了个百年系列。数学系毕业的人都应该都知道施普林格出版社的小黄书GTM 系列(Graduate Texts in Mathematics —— 数学研究生教材)，适用人群为本科生中的有志青年和研究生们。《数学讲座》(Lecture Notes in Mathematics) 则是由施普林格于1964年创刊，它是一种以刊登数学研究新成果为主的丛书，到2014年已出版了两千一百多本。丛书一半为专著，一半为国际数学会议的专门文集。
肖刚1985 年出的这本黄皮书，属于《数学讲座》的专著系列，编号1137。一百零三页的专著，反映了他的博士论文结果的原创性和重要性。
（来源：善科网，未完待续）
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