作者丨吴朝阳 南京大学数学系副教授

“张益唐攻克兰道-西格尔零点猜想，距离解决黎曼猜想更近一步”的消息持续发酵。尽管公众大都不明所以，但这一原本极为小众的话题依然引起无数国人的关注。

“兰道-西格尔零点猜想”究竟是什么？它又有什么重要性？要准确理解这两个问题的答案，我们需要跨过足够高的专业门槛。对普通公众而言，了解这一领域的大致脉络，也许是更为现实的选择。



张益唐是如何一举成名的？

公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个观点得到几乎所有古希腊学者的认同。于是，古希腊人认为，对“数”的探索是了解和理解大千世界的关键，对“数”的研究成为古希腊学者最热衷的事情之一。

最基础、最“自然”的“数”是正整数。数的四则运算中，加减法相对简单，古希腊的学者们更关心的是关于正整数乘法的性质。正如30=2x3x5，正整数大都可以写成若干个小于自己而大于1的正整数的乘积。如果以乘法为构建手段，则大于1但不能写成这样的乘积的正整数就是正整数关于乘积的基本构件，它们被称为“素数”，中文也称为“质数”（与之相对的、可被乘法分解的正整数被称为“合数”）。

既然是正整数的基本构件，数学家们对素数自然就抱有极大的兴趣。大约在公元前四世纪，《几何原本》的作者欧几里得，就用精彩的反证法证明：存在无穷多个素数。此外，古希腊人还发现，随着考察范围的增大，素数变得越来越稀少；与此同时，古希腊人也发现，尽管素数在大的正整数中相当稀有，但似乎总是存在相差很小的素数对，他们因此猜测：存在无穷多个差为2的素数对。

这就是著名的“孪生素数猜想”。张益唐当年一举成名，就是在证明这个猜想的道路上迈出了重要一步：2013年4月17日，张益唐在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题道路上迈出了革命性的一大步。



|《质数间的有界距离》摘要

研究数的性质的数学分支称为“数论”。大家熟悉的费马大定律、哥德巴赫猜想都属于这个分支领域。

数论专家们很早就发现一重要现象：素数的分布相当不均匀。那么，这无穷多个素数是如何分布的呢？在漫长的中世纪结束之后，寻找素数分布的规律，成为数论专家们极为重视的一个问题。

黎曼猜想的新闻为何能带来轰动？

18世纪中叶，瑞士数学家欧拉以一个在数学家看来极为简洁的乘积公式，把素数与复指数的无穷级数联系到了一起。19世纪50年代，德国数学家黎曼在欧拉及其后几代数学家工作的基础上，构造出大名鼎鼎的“黎曼ζ函数”。黎曼证明，黎曼ζ函数零点的分布与素数的分布规律关系紧密，一旦弄清楚黎曼ζ函数零点的分布，精确的素数分布规律便将大白于天下。

基于此，黎曼在1859年给出了一个猜测：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的直线上。这就是名动天下的黎曼猜想。

这个猜想，是一个极难攻克的问题——黎曼在给出这个猜想的时候，就明确表示自己证明不了。后来，有人问大数学家希尔伯特（他曾经在数学上比爱因斯坦更早发现广义相对论）：如果你离开地球五百年之后再返回地球，你的第一个问题将会是什么？希尔伯特回答说，我会问：黎曼猜想解决了没有？

事实证明，希尔伯特的判断是正确的。诞生160多年之后，黎曼猜想仍然悬而未决。

与黎曼几乎同时，另一位德国数学家狄利克雷引入“狄利克雷L函数”，这个函数是黎曼ζ函数的推广。于是，数论中出现了“广义黎曼猜想”。

广义黎曼猜想比黎曼猜想“威力”更大，它的成立与否，决定着孪生素数猜想等重大数论命题的命运。事实上，目前已经有2000多个数学命题依赖于广义黎曼猜想的解决，可见它在数论中有着无可比拟的重要性。

20世纪初，几位数学家发现，狄利克雷L函数可能存在所谓的“异常零点”，因而引出了“兰道-西格尔零点猜想”。这个猜想说，狄利克雷L函数不存在异常零点。这种异常零点的存在与否，和广义黎曼猜想的正误紧密相关：如果狄利克雷L函数存在异常零点，则广义黎曼猜想不成立。

然而，多年的研究显示，兰道-西格尔零点猜想是一个非常难于解决的问题，有些数学家甚至认为，它比广义黎曼猜想更难被攻克！

如果张益唐真的攻克了“猜想”……

至此，我们知道：素数是自然数的基本构件，素数的分布问题是关于自然数的学问（数论）中极为重要的问题，包括孪生素数猜想在内的许多素数分布问题的解决，都依赖于广义黎曼猜想，而兰道-西格尔零点猜想与广义黎曼猜想紧密相关。因此，毫无疑问地，兰道-西格尔零点猜想是数学中一个关系重大的猜想，它的攻克理所当然是数论界的重大事件。

如果张益唐证明兰道-西格尔零点猜想不成立，那么他就投出了一颗威力无比的重磅炸弹：广义黎曼猜想不成立，而2000多个相关命题也将随之寿终正寢。如果张益唐证明兰道-西格尔零点猜想成立，那么广义黎曼猜想依旧岿然不动，但其证明仍然非常重要。因为，它必然为数论研究提供了全新的数学工具，同时证明了人类智慧的高超，并为广义黎曼猜想的成立提供了旁证。



| 2019年，张益唐教授在未来科学大奖科学峰会上，分享了Landau-Siegel零点问题

作为外行的公众，不妨如此理解这一问题：广义黎曼猜想如同是一根支柱，诸多数学家傍依着这根支柱添砌砖头建了一面墙；现在，张益唐可能在这根支柱上钻了一个孔，可以初步窥视这根支柱的成色——如果钻孔处显示它只是一根烂木头（兰道-西格尔零点猜想不成立），那么这堵墙将轰然倒塌，所有砖头将抛洒一地；如果钻孔处显示是钢筋（兰道-西格尔零点猜想成立），那么这根支柱的整体质量将等待进一步的检验来证实。

顺便说一下，列名于上述猜想的兰道（Edmund Landau，1877 - 1938）和西格尔（Carl Ludwig Siegel，1896 - 1981）都是德国一流的数学家。在纳粹上台之后，兰道很快就被迫退休，西格尔则因为反感纳粹政权而在数年后远走美国。毫不夸张地说，纳粹政权在数年间就使数学界首屈一指的哥廷根学派分崩离析，使德国数学永远失去旧日的辉煌。