两个牧羊人的难题－－理解一下奥数教育的潜在问题

两个牧羊人的难题－－科学方法与人的智慧

 

玄野

 

数学教育的宗旨不是数字游戏和炫目的技巧，而是要唤起人意识底层的数理直觉，从而自人的心灵底层构筑起强大的力量与兴趣来认识和解析宇宙奥秘，并将人在大千世界中的生存变得游刃有余。

在家乡一直流传着这样一道题：有两个放羊的，一个在坡上面放羊，一个在坡下面放羊。坡上面的说：＂如果你给我一只羊，我的羊就是你的羊的两倍了。＂坡下面的也不示弱，说：＂如果你给我一只羊，咱们俩的羊就一样多了。＂两个人各自有多少羊呢？

这个题目很有趣，比当地的任何笑话都流传得广。学过初中数学的人都知道，这是一个很简单的二元一次方程组问题。但是，如果用这样的数学工具解决，这道题就变的索然无味了。其实，科学方法并非枯燥无味的，其中的每一个符号都蕴涵着丰富的实际物理意义，只是由于理解和跟踪符号的静态与动态物理意义过于复杂，从而人们只留意符号运算的准确性了。因此，科学才会变得乏味。解决这个问题用直观的数学工具是足够的，而且速度会更快。用方程式解决的过程和这种方法是等价的。

首先用方程组来解决。定义坡上面的羊群数目为x，坡下面的羊群数目为y。

x+1 = 2(y-1)

x-1 = y +1

由第二个方程式

x=y+2

将其置换入第一个方程式

y+2+1 =2y-2

y = 5

x = 7

再用直观的数学方法来解决。从坡下牧羊人的话可以知道，坡上的羊比坡下的羊多两只。这样的话，我们就知道，如果按照坡上牧羊人的话做－－坡下的羊再给一只到坡上面，坡上面的羊比坡下面的羊多几只呢？太简单了，那就是四只。坡上牧羊人说，这种情况下，坡上的羊就是坡下的羊的两倍了，这个意思很明显，坡上比坡下多了四只就多了一倍，那么此时坡下的羊就是四只。四只是在坡下的羊给到坡上面一只的条件下得到的，那么，坡下的羊一定是五只。

如果我们将方程组的解题过程稍微改动一下，就会发现，两个解决过程是完全一致的。

x+1 = 2(y-1)

x-1 = y +1

由第二个方程式

x=y+2

(这一步对应于上文的“从坡下牧羊人的话可以知道，坡上的羊比坡下的羊多两只。”)

将其置换入第一个方程式

 (y+2)+1 = 2 (y-1)

因为x+1 = (y+2)+1 = y+3 = (y-1) + 4，

(这一步对应于上文的“如果坡下的羊给一只到坡上面，坡上面的羊比坡下面的羊多几只？太简单了，那就是四只。”)

所以

(y-1) + 4 = 2(y-1)

(这一步对应于上文的“坡上牧羊人说，这种情况下，坡上的羊就是坡下的羊的两倍了”)

y-1 = 4 ((这一步对应于上文的“这个意思很明显，坡上比坡下多了四只就多了一倍，那么此时坡下的羊就是四只。”)

y = 5

x = 7

科学方法的教育并不一定就能够给人的智慧带来直接的效果，除非你对这个方法的各元素的物理图景有了深刻的理解，如同发明这种方法的人的理解一样。无疑，发明一种方法的人是最理解其中的物理意义的。他首先要透彻地掌握并明膫事情的各个方面，然后才能压缩成符号系统或者简明的理论。在现实的教育中，人们往往注重的是对这种方法的掌握，而不是对事物本质的理解。当然前者会容易的多，但是这种做法带来的问题是一大批人掌握了这种方法，却没有应用到实际中的能力。在他们的头脑中符号就是简单的符号，和它背后的物理意义难以联系起来。中国古代有一个书虫的故事，说某士人书库中的书虫嚼了许多四书五经一类的经典，出来混世道的时候却经常被蚊子蟑螂等野蛮之类欺凌。于是它就回来问士人，士人告诉它：你虽然嚼了许多经典，但食而不化，又有什么意义呢？当中国引进了科学方法之后，教育所造成的食而不化现象远比中国的经典严重。其实，即使你能够将科学的方法娴熟的应用于实际当中，也并不需要你对这个方法有完全透彻的理解。科学方法的教育首先是给人一个向自然索取财富的能力，而对智慧的热爱只是人类心灵的需求。

对这个问题的彻底讨论足以颠覆曾经为几代大陆中国人所广泛接受的认识论与实践论。显然这已经不是这样的一个短文所能展开的话题了。这里我们讨论一下它在教育中的实际意义。这种思维方法的意义绝不在于让人们掌握一种另类的思路与解题技巧，也不在于如同所谓逆向思维式的锻炼人们的大脑。它的意义在于，让学生在学习科学方法的时候，体会到符号的每一运算过程都代表着十分实在的物理意义，而不是陶醉或迷失于符号在纸上或计算机屏幕上的裸奔游戏中。科学教育的目的应该是解决现实课题与任务，将复杂的实际问题抽象成简单的数学模型也就成了关键之关键。在中国，学生依然在分数的竞争中疲于奔命；在北美，虽然工程实践的锻炼很早的介入到教育中，但是还没有系统的方法锻炼学生的抽象能力。这种思维方法在教育中的重要性是不可低估的，也是有待发展的。

还有另外一个题目，用来给大家参考。同样的，这也是家乡流传的题，是一个顺口溜：一群老头儿去赶集，路上见到一筐梨，一人分俩多一个，一人分仨少俩梨。请问，几个老头儿几只梨？

定义老头儿数目为x，梨子数目为y，列出方程组

2x + 1 = y

3x = y +2

很快得出答案

x = 3

y = 7

如果用直观的方法来解决，你会发现，用方程组来解决就象被人发现骑驴找驴一样的尴尬。我们可以这样分析这个问题，给老头儿们分梨，一轮一轮分，每轮每人分一个。第一轮每人一个都分到了，第二轮同样。第三轮的时候，第一个人分到了，基于题中所说：一人分俩多一个。这时，还有几个人没有分到梨呢？是两个人，基于题中所说：一人分仨少俩梨。第三轮中一个人分到了，两个人没分到，显然，一共有三个人。这个问题比一加一等于二复杂一点，是一加二等于三。两种方法的等价过程，大家可以试着找一找，不再赘述。

最后，我们讨论一个比较复杂的题目。也许它对任何人来说都具有一定的挑战性。这个题目是十几年前北京的育英中学入学考试中给小学毕业生的一道选作题。

某学校的某年级共有两个班。两班的总人数相同。其中，甲班的女生比乙班的男生多八人，乙班的男生比乙班的女生多八人，两班男生的总和占全部人数的五分之二。请问，两个班一共有多少人。请用小学的数学方法解决。

方程式是初中数学的课程，显然在这里用四元一次方程组是不符合要求的。即使用方程组，过程也是很复杂的。

定义甲班的女生为x1，定义甲班的男生为y1，定义乙班的女生为x2，定义乙班的男生为y2，则有四个方程式

x1 + y1 = x2 + y2

x1 - y2 = 8

y2 – x2 = 8

y1 + y2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 2/5

可想而知，运算过程是繁复的，也许有人会用行列式解决。但是，如果我们用直观的物理意义结合符号运算就会十分简单。甲班的女生比乙班的男生多八人，

x1 - y2 = 8; 同时，两班的总人数相同。那么我们可以推断出来，乙班的女生比甲班的男生多八人。

x2 – y1 = 8

进而，我们可以推知，女生的总和比男生的总和多十六。

(x1 + x2) – (y1 + y2) = 16

最后一个条件，两班男生的总和占全部人数的五分之二。

y1 + y2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 2/5

由此直接可以推出两班女生的总和占全部人数的五分之三。

x1 + x2 = (x1 + y1 + x2 + y2)* 3/5

因此，女生的总和比男生的总和多的人数就是全部人数的五分之一。

(x1 + x2) – (y1 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2)* 1/5

我们已经知道了女生的总和比男生的总和多的人数，是十六。那么两个班的总人数就是

(x1 + y1 + x2 + y2)* 1/5 = 16

(x1 + y1 + x2 + y2) = 80

题目给出的条件对于问题而言是有冗余的，第三个条件没有用到。

y2 – x2 = 8 (乙班的男生比乙班的女生多八人)

这个条件只是限定解的唯一性，对总人数没有影响。

这样的题目对于没有掌握足够数学工具的小学生来说是极其困难的；而对于那些熟练了各种数学工具，但在头脑中数学符号的运算过程仅仅是毫无实际意义的工具的人，如果要求他们放弃复杂的数学工具，而仅仅用小学知识去解决的话，所遇到的困难可能会更大。惟有透彻理解了方程组的实际意义，又通晓了解方程各步骤的物理内涵的时候，才能够轻易地解决这样的题目。教育机构出这种题目来做小学生的升学标准，我们只能用误入歧途来评价。一个人犯了认识上的错误本身是无所谓的事情；然而，一个教师，一个教育机构，一种教育理念出现了偏差，却会遗害无穷。在那之后的十数年中，中国又发展出了轰轰烈烈的奥数教育。

应试教育有利有弊，在职业教育中应该是相对简洁的好形式，而在基础教育中则弊端太大。关键在于其弊端是什么。中国教育部彻底否定奥数教育的理由是增加了学生的课业负担，然而，任何概念任何理论任何知识，没有一定强度的训练你都谈不上熟悉理解与应用。为什么国家越否定，奥数教育反而越流行，甚至对欧美基础教育都产生了强烈影响？两害相权取其轻，与奥数的机械做法相比，对学生放纵所产生的问题更大。家长很明白，我不为升学加分，只为孩子得到充分的训练。对于一个大家明知有弊端却又不得不接受的教育形式，我们每一个做家长的人都有责任义务去认真甄别其在孩子学习过程中的弊端所在。以参加国际比赛为目的而学习奥数，我相信没有多少家长会如此糊涂，而强化训练应该是个不错的理由，但奥数的强化训练模式不是一个适合大多数孩子的模式。这就像发大水灌溉农田，仅有那些高出水面的庄稼得益，而绝大部分水面以下的庄稼都被窒息了。即使对于数学思维较强的孩子，奥数教育也是一个相对低效的模式。真正合适的教育是将数学的学习建立在真正的理解之上，然后强化这个理解，而不是强化那些琐碎的数字技巧。