疫情期间，有人困在家里把每块地砖都数了个遍，有人闲得把地板抠出了三室一厅。

来自英国杜伦大学的 Andrew Lobb，和波士顿学院的 Joshua Greene 这两位数学家，同样面临了这样的窘况。

上班是没法儿上班了，在家实在闲得无聊，他们只好翻了翻手里积攒的一堆数学问题，挑出了其中看上去最没有前途的一个连陶哲轩都没有解决：

任何简单闭合环路，是否总能在其上找到四个点形成一个任意长宽比矩形？





谁曾想，几番视频连线在线脑暴之下，他们还真就解决了这个诞生于 1911 年的古老数学难题。

论文一共 6 页纸。

当他们把证明结果发表出来，布朗大学数学家 Richard Schwartz 赞叹：万万没想到，解决此问题的正确方式是这样的。

内接方形问题

这个问题，被称为内接方形问题（或方形钉问题），源自 1911 年，妥妥的「百年老题」。

当时，德国数学家 Otto Toeplitz 预测称，任何简单闭合曲线，都包含四个可以连接形成正方形的点。

听上去像是个高中生能用尺子解决的问题。

可一百多年过去了，太多数学家前赴后继，一直也没能最终证明这个猜想。

华盛顿与李大学助理教授 Elizabeth Denne 感叹称： 这个问题说出来很容易，也很容易理解，但想要证明真的很难。

但在这个过程中，数学家们给出的解题思路，也成为后继者实现突破的阶梯。

用莫比乌斯带解内接矩形问题

在 1977 年，数学家 Herbert Vaughan 首先在内接矩形问题上取得了突破，开创了一种思考矩形的几何形状的新思路。

证明方法大致如下。

首先，不把矩形看成四个相连的点，而是将其视作两对相互之间具有特定关系的点。

AC、BD 这两对点之间，拥有共同的中点，并且 AC = BD。





也就是说，只要证明对于任意闭合环路，都能找到满足以上条件的两对不同的点，就能证明这样的曲线中矩形总是存在的。



而通过这样一个函数：f ( A, B ) = （x, y, z），就相当于能把一对点的中点和距离信息编码出来。





△截自 3Blue1Brown 视频



我们在中点画一个垂直于曲线平面的线段，线段长度等于两点之间的距离。





这样一来，曲线内所有的点对就会构成一个曲面。这一曲面以环路为底，并且连续。





那么，问题就变成了，如果这一曲面上存在交点，那必然是两对点中点相同，而且这两对点组成的两个连线长度相同。



这不就是矩形两条对角线交点的性质吗？由此就能证明矩形存在。





Herbert Vaughan 发现，如果你在曲线上取一对点（x, y）并对其进行绘制，将会得到一个令人惊讶的形状：莫比乌斯带。



莫比乌斯带长这样，一个没有正反面的二维神奇带子。





要不，你试试找一下正面？



言归正传，也就是说，莫比乌斯带上的一点和曲线上的一对点存在一一对应的关系。





△图源：QuantaMagazine



这时候，再把莫比乌斯带映射到 f ( A, B ) = （x, y, z）构成的三维曲面上。莫比乌斯带的边界就对应着平面上的环路。

而莫比乌斯带扭曲的特殊形状，决定了如果将其边界拍平放到二维平面中，自身必定会相交。





这也就证明了，确实有两对不同的点，被映射到了三维曲面的同一点上。



至此，证明完毕，在三维空间中，任何闭合环路中，都至少存在这样四个点，能够构成一个矩形。

陶哲轩：用积分方法解决特定情况下的内接方形问题

另一位数学天才陶哲轩，则在这个问题上更进一步。

他用积分方法证明了，在曲线由两个常数小于 1 的 Lipschitz 图形组成的这种特殊情况下，该曲线一定存在四个能组成正方形的点。

不过，这同样没有完全解决内接正方形问题。





总而言之，对于平面上的任意简单闭合环路而言，矩形的存在已经得到了证明，但是否任意长宽比的矩形（包括正方形）都能存在，此前的数学家们都没能解决。



而 Joshua Greene 和 Andrew Lobb 就在疫情期间，基于 Herbert Vaughan 的方法，将这个问题彻底解决了。

证明的思路是：

如果证明了存在任意长宽比的内接矩形，那么方形（长宽 1:1 的矩形）也必然是存在的。

而且这一结论比陶哲轩想要证明的内接方形结论更强。

将莫比乌斯带嵌入四维空间

在正式的研究时，他们还参考了去年 11 月普林斯顿大学一位研究生 Cole Hugelmeyer 的研究。

这个研究中，介绍了用「嵌入」法分析莫比乌斯带的方法。具体指：

假定一条一维直线，每个点都只有一个数字表示。

如果将这条直线放在二维空间，比如 xy 平面上，那么直线上的每个点会由两个数字表示，比如 xy 平面上的 xy 两个坐标。

以此类推，放在四维空间里，就将有四个数字来表示。

思路很好，但有一个问题如何确定四维坐标？这是 Cole Hugelmeyer 研究的核心。





按照 Vaughan 的思路，从莫比乌斯带上的一个定点开始。它所代表的原始封闭曲线上的两个点（一对点），找到这对点的中点。



那么，这个中点有对应的 x 和 y 坐标，从而可以得出具体的坐标值。





接着，测量闭环上两个原始点之间的直线距离，可以得到第三个坐标。





最后，将穿过两个原始点的直线与 x 轴正方向的夹角作为第四个坐标。





四个坐标确定了，那么莫比乌斯带在四维空间对应的任意一点都可以用这一坐标来表示。



就类似于在 xy 平面上向某一轴平移一样，只会改变其中一个坐标。

那么，将莫比乌斯带绕着中心点 ( a,b ) 随机旋转任何角度，只会改变最后一个坐标值，没有改变其他的性质。

由此，Hugelmeyer 证明了大概有三分之一的旋转会产生与原始图形的交集。





也就意味着，可以找到三分之一的任意长宽比的矩形，问题并没有完全解决。



如果能够证明莫比乌斯带的每一个可能的旋转，都会产生一个交点，就等同于证明你可以找到所有可能长宽比的矩形。

那剩下的三分之二呢？

如果将其嵌入四维空间是一个有效解决方法，那为啥只对三分之一的矩形有用呢？

Greene 和 Lobb 眉头一皱，发现事情并不简单。讲道理，应该可以得到另外的三分之二的矩形。

于是，他们就将目光放在四维空间的构建上，既然此前的方法不行，那就试试辛空间。

「辛空间」的提出首次出现在 19 世纪的物理系统，比如轨道行星的研究。





当行星穿过三维空间的时候，它的位置有三个坐标来确定，但是随后有学者表示，在行星运动的每个点上，还可以放置一个代表行星动量的矢量。



于是，他们就开始尝试将二维的莫比乌斯带 嵌入 到四维辛空间中。





而嵌入辛空间，就需要使用辛几何学的工具，而这其中很多工具都直接关系到空间如何相交的问题。



这个时候，有一个 克莱因瓶 帮助他们彻底解决了。

克莱因瓶长这样。





克莱因瓶可以看做更高维度的莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一条边，克莱因瓶只有一个面，它们都不分外面里面。



除此之外，它们还有这样一层关系将两条莫比乌斯带粘在一起就可以形成一个克莱因瓶。

随后就发现，克莱因瓶根本不可能嵌入到四维辛空间中而不相交！

同时，他们又证明了，莫比乌斯带可以嵌入到四维辛空间中而不相交。

而在空间中旋转莫比乌斯带可以构造出一个一个克莱因瓶子。如果在这个过程中，莫比乌斯带不相交，那么就可以再四维辛空间中构造一个不想交的克莱因瓶。

这显然是与之前的结论是矛盾的。

所以旋转一个莫比乌斯带，旋转后的副本必然会和与原来的相交。

这意味着每一个封闭的光滑曲线必须包含四个点的集合，这四个点可以连接在一起形成所有长宽比的矩形。

问题得证！

关于作者

最后，来认识下这两位解决了百年数学难题的数学家吧 ~

一位是 Andrew Lobb，本科就读于牛津大学，随后在哈佛大学攻读博士学位，目前在杜伦大学担任助理教授，同时也是日本冲绳科技大学 Excellence Chair。





另一位是 Joshua Greene，先后在芝加哥大学、普林斯顿大学攻读硕士、博士学位，现在是波士顿学院教授。